Ζεσταίνουμε το ελαιόλαδο και σωτάρουμε το ψιλοκομμένο κρεμύδι με το σκόρδο και την καυτερή πιπεριά για 6 λεπτά σε μέτρια φωτιά να γίνει διάφανο χωρίς να πάρει χρώμα. Ψιλοκόβουμε τις ντομάτες, τις προσθέτουμε στο κρεμμύδι, αφήνουμε να πάρουν βράση και βράζουμε σε μέτρια φωτιά για 20’. Με τη ράβδο του μπλέντερ αλέθουμε την σάλτσα. Ψιλοκόβουμε τον βασιλικό στη σάλτσα και αλατοπιπερώνουμε.

Βράζουμε αλατισμένο νερό, προσθέτουμε τα ζυμαρικά, τα βράζουμε και τα στραγγίζουμε. Τα ξαναβάζουμε στην κατσαρόλα. Τα περιχύνουμε με τη μισή σάλτσα ντομάτας και μία χούφτα τυρί τριμμένο. Λαδώνουμε ένα πυρέξ, απλώνουμε το ½ γιαούρτι. Στρώνουμε τα μισά ζυμαρικά, λίγη σάλτσα, τυρί τριμμένο και φέτες μοτσαρέλα. Συνεχίζουμε σε στρώσεις μέχρι να τελειώσουν τα υλικά. Στην τελευταία στρώση πασπαλίζουμε βασιλικό, φρεσκοτριμμένο πιπέρι και ελαιόλαδο. Ψήνουμε στους 200 C για 20’ λεπτά, να λιώσει το τυρί.