Ξεκινάμε να φτιάξουμε τη ντοματόσουπα βελουτέ με γιαούρτι, σοτάροντας πρώτα στο ελαιόλαδο, σε μέτρια φωτιά, το κρεμμύδι, το πράσο, το σέλερι, το καρότο και τα μανιτάρια για 7΄-8΄, να γίνουν διάφανα (όχι να πάρουν χρώμα).

Προσθέτουμε τον πελτέ, τη ζάχαρη, τις ντομάτες χοντροκομμένες, καθώς επίσης και το ζωμό.

Σκεπάζουμε την κατσαρόλα και σιγοβράζουμε για 35΄.

Πολτοποιούμε τη σούπα στο ειδικό μηχάνημα ή στο μίξερ και αλατοπιπερώνουμε.

Σερβίρουμε σε ένα μεγάλο μπολ ή μέσα σε βαθιά πιάτα.

Γαρνίρουμε κάθε πιάτο με γιαούρτι και λίγο ψιλοκομμένο βασιλικό (προαιρετικά). Εάν θέλουμε, ανακατεύουμε ελαφρά το γιαούρτι για να κάνουμε σχέδιο μαρμάρου στο πιάτο (από κόκκινο μέχρι άσπρο).